... hat hier nichts mit Fussball zu tun, sondern mit der Steigung einer linearen Funktion. Oder allgmeiner mit Steigungen aller Art, denn die Steigung einer Straße wird nicht anders berechnet.

Es reichen dazu zwei Punkte, die - und das ist wichtig - auf der Funktion liegen müssen. Genauer: Sie müssen Elemente der Funktion sein. Klar!

Häufig bieten sich dazu die Schnittpunkte an. Also der Schnittpunkt mit der y-Achse als t und der Schnittpunkt mit der x-Achse. Die Koordinaten machen es oft recht leicht, einen Punkt herauszugreifen und zum Rechnen zu verwenden. Besonders dann, wenn es Schnittpunkte sind. Ist es der Schnittpunkt mit der x-Achse, dann hat der Punkt zwangsläufig die y-Koordinate 0 und umgekehrt.

Die lineare Gleichung: y = mx + t

Koordinaten & Tangens

1. Punkt: X Y
2. Punkt: X Y

Funktionsgleichung m t
Alle Eingaben

Im Skript können Sie zwei Punkte eingeben, woraus dann die Steigung m und der Schnittpunkt mit der y-Achse t berechnet wird.
Aus der Steigung ist ein Faktor entstanden, der mittels Tangens in den Winkel umgerechnet werden kann. Wird m negativ, dann fällt die Funktion.

Funktionsgleichung: m t
Definitionsbereich ( x ) : Start Ende

Es bleibt beim Zweierverhältnis aus x und y. So ist x der Definitionsbereich - die Werte, die man eingibt - und y ist der Wertebereich - die Werte, die man nach der Berechnung mittels Funktion erhält. Die Eingaben sind in der Form y = mx + t enthalten.

Das gültige Intervall habe ich auf 20 Punkte limitiert und wenn der Start versehentlich größer ist als das Ende, dann wird die Zahlenreihe umgedreht.

Die for Schleife  |  Funktionen und for Schleife

Der Klassiker funktionaler Textaufgaben dürfte wohl folgendes Beispiel sein:

Ein Fahrradfahrer macht sich auf, eine 100 km lange Strecke mit durchschnittlich 25 km/h zu befahren. Ein Auto fährt durchschnittlich 50 km/h. Das Auto fährt aber eine Stunde später los. Wann wird das Auto den Radler einholen?

Es ist klar, daß der Radler für 100 km bei 25 km/h im Durchschnitt 4 Stunden braucht. Das Auto braucht 2 Stunden bei 50 km/h.

Das Auto muss später losfahren. Führen beide zur gleichen Zeit los, dann hätte das Auto immer einen Vorsprung und von einem Überholvorgang könnte dann keine Rede mehr sein.

Gleichungssysteme

Berechnen Sie das Verhältnis der grünen und der grauen Fläche zur Fläche des Quadrats.

Der Punkt auf der linken Seite halbiert die Länge a des Quadrats. Doch wo befindet sich der Punkt in der Mitte? Man ist geneigt zu glauben, er sei auf der Hälfte der Hälfte. Also auf einem Viertel.

Aber stimmt das? Und wenn ja, wie weist man das nach, ohne zu messen? Zumal Maße für das Verhältnis nicht unbedingt nötig sind.

Die Höhen beider Dreiecke sind aber nötig, um die Flächeninhalte mit 0,5 · g · h zu berechnen.

Die grüne Diagonale, die auf der Hälfte beginnt ist eine steigende und die blaue Diagonale über das gesamte Quadrat eine fallende Funktion. Und wir suchen S ( x | y ).

Somit ergibt sich ein Gleichungssystem, in das wir jeweils t ( 0 | y ) einsetzen und m ergibt sich aus dem Steigungsdreieck mit y / x :

y = mx + t → y = 0,5x + 0,5

y = mx + t → y = -1x + 1

Man setzt die Funktionen gleich und bekommt zunächst 1,5x = 0,5 und dann x = 0,5 : 1,5 was 1 : 3 entspricht.

Die x-Koordinate liegt also auf 1/3 der Fläche und um auf Nummer Sicher zu gehen, setzen wir x in eine der Funktionen ein und bekommen y = 2/3, was auf das Ganze gesehen eigentlich klar war.

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