Zwei Spieler vereinbaren, daß jeder der beiden einmal würfelt. Ist die Anzahl der Augen kleiner als sechs, hat der erste Spieler gewonnen. Ist die Augenzahl gleich sechs, steht es unentschieden und wenn die Anzahl der Augen größer als sechs ist, hat eben der zweite Spieler gewonnen. Klingt gerecht? Ist es aber nicht!

Die Grundmengen der Spieler sind unterschiedlich. Der erste Spieler kann von 1 bis 5 würfeln, um zu gewinnen. Würfelt er eine 6 hat er schon verloren, da der zweite Spieler zumindest eine 1 würfeln wird.

Der zweite Spieler kann jedoch eine 6 würfeln, weil der erste Spieler zumindest eine 1 gewürfelt haben wird. Und mit der Augenzahl 7 im kleinsten Fall hätte der zweite Spieler bereits gewonnen. So ergibt sich:

6² - (( 6 - 1 ) ² - ( 6 - 1 )) : 2 - ( 6 - 1 ) = 36 - ( 25 - 5 ) : 2 - 5 = 36 - 20 : 2 - 5 = 36 - 10 - 5 = 21

Damit hat der erste Spieler 10 Möglichkeiten und der zweite 21 Möglichkeiten. Der Spielstand Unentschieden als Diagonale wurde als 5 abgezogen.

Jede lineare Funktion besteht aus dem Verhältnis des Ausgabewerts y zum Eingabewert x und somit ergibt sich y : x = tan α oder eben ( y : 2 ) : ( x : 2 ) = tan α

Der Quotient bleibt immer gleich. Es ist also egal, welche Werte Sie herausgreifen. Wichtig ist aber: Der Dividend ist immer y und der Divisor ist x und nicht umgekehrt, wozu vielleicht die alphabetische Reihenfolge verleitet.

Eigentlich entsteht vollumfänglich immer ein Viereck und wenn man dieses in zwei Dreiecke teilt, dann sind diese Dreiecke nun mal identisch. Der Begriff der linearen Funktion ist also nur ein detaillierter Aspekt der Geometrie. Ferner ist  α' der Stufenwinkel zu  α unter der Voraussetzung: g || x

Die Steigung einer Funktion

Höhe ( y-Achse )
Breite ( x-Achse )

Länge der Hypothenuse
Faktor m in y = mx ± t
Tangens aus m in Grad
Ergebnisse
Werte zurücksetzen

In der Form y = mx ± t ist t vorerst mit 0 belegt. Natürlich kann man auch hier nicht durch 0 dividieren und das wäre der Fall bei

m = ( y2 - y1 ) : ( x2 - x1 ) ∧ x2 = x1 →
m = ( y2 - y1 ) : ( x2 - x2 ) ∨ ( y2 - y1 ) : ( x1 - x1 ) → ( y2 - y1 ) : 0 = ∅

Dann zieht man immer den Divisor vom Divisor ab und hinterlässt als Divisor 0. Null kann aber kein Divisor sein.

Höhe ( y-Achse )
Breite ( x-Achse )

Sinus
Cosinus
Tangens
Winkel ( α )
Ergebnisse
Werte zurücksetzen
Stellt man sich ferner vor, die y-Achse sei mit s - der Weg in km - und die x-Achse mit t - die Zeit in h - belegt, um km/h zu berechnen, dann würde die Bewegung weiterlaufen und die Zeit bliebe stehen mit 0. Philosophisch zumindest zweifelhaft. Diese vertikale Linie ist jedenfalls weder Funktion noch Dreieck.

Am Verhältnis der y- zur x-Achse orientieren sich auch die übrigen trigonometrischen Funktionen, die hier zwar nicht im Mittelpunkt stehen, aber kurz eingebaut wurden. Es werden die Seiten des Dreiecks in verschiedenen Konstellationen ins Verhältnis gesetzt, was aber immer auf den gleichen Betrag des Winkels hinausläuft.

Dieser Tangens ist bei Funktionen überall anzutreffen. Es geht immer um das Verhältnnis y : x also Höhe zu Breite.

Besonders deutlich und leicht zu erlernen ist dies bei linearen Funktionen, die sozusagen einen gleichbleibenden Tangens aufweisen. Hierzu sei die Quotientengleichheit erwähnt. Ergo gibt es unzählige solcher Steigungsdreiecke am Graphen und der Faktor m aus

y = mx ± t

ist die kleinste Version dieser Dreiecke. Wenn man sich eine Wertetabelle anlegt, so bestimmt man aus dieser Unendlichkeit einen bestimmten Definitionsbereich mit x-Werten und erhält mittels m und t die y-Werte, also den Wertebereich.

Das schreit nach einem Programm, um sich die Arbeit zu erleichtern.

Zählvorgang mit for Schleife  |  Werte- und Definitionsbereich

So hat die obere Funktion die Gleichung y = 0.5x + 1 und die untere y = 2x - 2

Wenn man beide Funktionen - oder Gleichungen - multipliziert, so heißt das nur, Binome zu multiplizieren. Noch einfacher: distributiv zu multiplizieren. Daraus entsteht ein Quadrat als erster Term.

h(x): y = ( 0.5x + 1 ) · ( 2x - 2 ) → x² + x - 2 → ax² + bx + c

Das Ausmultiplizieren der Terme a, b und c sei kurz wiederholt:

0.5x · ( -2 ) = a ∧ 1 · 2x + ( -2 ) · 0.5x = b ∧ 0.5x · ( -2 ) = c

Das gilt aber nur für zwei lineare Funktionen. Sind es mehrere, ergeben sich Polynome, die dann als Graph auch ganz anders aussehen.

Binome und quadratische Funktionen  |  Werte- und Definitionsbereich

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