Wenn man aus dem Quadrat ein Achteck, daraus ein 16-Eck, dann ein 32-Eck, ein 64-Eck usw. erzeugt, entsteht irgendwann optisch ein Kreis.

Hierbei wird die Grundlinie der gleichseitigen Teildreiecke ( 4, 8, 16, 32, 64, ... ) immer kleiner, da der gegenüber liegende Winkel auch immer kleiner wird.

Multipliziert man die Grundlinie des Quadrats mit 4, die des Achtecks mit 8, die des 16-Ecks mit 16 usw., erhält man den Umfang des jeweiligen Polygons.

Doch diese Umfänge variieren. Anfangs mehr und mit zunehmender Anzahl der Ecken immer weniger. Hierbei entsteht eine Näherungszahl, die π genannt wird und das griechische p bezeichnet. Peripheia heißt in etwa Randgebiet.

Das n-Eck

Anzahl der Ecken

Innerer Winkel
Basiswinkel
Länge der Basis
Umfang des Polygons
Näherungszahl π

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Grundvoraussetzung ist ein Einheitskreis mit dem Radius 1 gemäß obiger Graphik. Die Näherungszahl nimmt erst so langsam ab 64 Ecken Gestalt an:

3.140331156954753...

Das bedeutet, daß die Genauigkeit der Nachkommastellen mit der Anzahl der Ecken zunimmt. Da π aber endlos ist, könnten wir noch so viele Ecken eingeben und kommen niemals an.

Überall, wo mit Kreisen gerechnet wird, braucht man die Näherungszahl pi oder griechisch π und Ρ.

Voll ausgeschrieben kann man π nicht darstellen, weil das Ende der Nachkommastellen bisher nicht gefunden wurde.

Es gehört π dem Bereich der reellen Zahlen an, nicht dem der rationalen Zahlen, die Ende oder Periodik haben.

Radius ( Durchmesser : 2 )

Fläche ( 360 ° )
Umfang ( 360 ° )

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Aus Platzgründen habe ich hier den Radius auf 200 begrenzt, denn sofern Sie nichts Geographisches oder Astronomisches berechnen, sollten diese Bereiche genügen, um das Verhältnis darzustellen.

Das Verhältnis zwischen Fläche und Umfang ist natürlich nicht gleich. Ein Quadrat ist ab 2 erheblich größer als das Produkt.

Winkel ( α ) des Sektors
Radius des Kreises

Fläche des Sektors ( α )
Bogen des Sektors ( α )
Umfang des Sektors ( α )

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Für Sektoren gilt generell ein ganz logisches Verhältnis zwischen Winkel und Fläche oder eben Umfang:

 α : 360° = A (Sek) : ( r² · π ) und  α : 360° = b : ( 2 · r · π )

Achten Sie darauf, daß die Bogenlänge nur die Rundung des Sektors ist und nicht der gesamte Umfang des Sektors. Zu dieser Rundung kommt noch zwei mal der Radius, um die bekannte Form eines Tortenstücks zu erhalten.

Von Extremwerten muß hier noch nicht die Rede sein. Es gilt a = a und somit ist das Dreieck gleichschenklig, denn dann gilt auch α = α

Sofern der Radius bekannt ist, wird unterwegs nur noch a berechnet, woraus sich die Fläche ergibt. Und die Fläche des Kreises ist durch den Radius ohnehin bekannt.

Diagonale eines Quadrats

Radius ( Durchmesser : 2 )

Fläche ( Quadr )
Seite ( a )

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Orientiert man sich also am Radius, ist das einbeschriebene Quadrat auch ohne oben genannte Extremwerte ein maximales Quadrat weil der Durchmesser per se maximal ist.

Darin ist nichts weiter enthalten als der Elementargeist der Trigonometrie: Pythagoras!

Auch hier sollten Werte bis 200 genügen, um Verhältnisse deutlich zu machen.

...fällt wohl nicht schwer. Schon eher, wenn es um die Winkel der Zeiger geht. Diese verhalten sich zueinander und nicht unabhängig voneinander.

So hat eine Stunde das Verhältnis → 360° : 12 h = 30°

und eine Minute → 360° : 60 min = 6°

Doch der Stundenzeiger wandert mit, wenn sich der Minutenzeiger bewegt.

Dann ergibt sich → 360° : ( 12 h · 60 min ) = 360° : 720 min = 0,5°

Noch bevor eine volle Stunde vergangen ist, hat sich der Stundenzeiger um
59 min · 0,5° bewegt und verharrt nicht bei 0 oder besser bei 12 Uhr.

  Stunden

  Minuten

  Stunden in Grad

  Minuten in Grad

  Aussenwinkel

  Innenwinkel

Geben Sie im Skript Stunden und / oder Minuten ein und achten Sie darauf, daß 60 Minuten eine volle Stunde sind.

So habe ich mir erlaubt, zu große Eingaben kommentarlos auf 0 zu setzen und glaube, es wird richtig aufgefasst.

Verständlicherweise sind Eingaben dezimaler Art nicht sinnvoll und werden vom Datentyp Integer ignoriert.

Beachten Sie immer, daß sich der Stundenzeiger mit den Minuten mitbewegt!

Vergrössert sich der Durchmesser um ein Zoll, dann sind das 2,54cm mehr. Wickelt man die Kreislinie quasi aus, ergibt sich das Bogenmass eines Kreises oder eben der Umfang mit bekannter Formel U = d · π

Und diese beiden Umfänge verhalten sich 71,12 : 73,66 was den Faktor 0,965517241 ergibt. Die Einheit cm und die Kreiszahl π kürzen sich weg!

Distanz km
Tempo km/h
Rest km0 Gespart km0
Gespart h0 Gespart min0
Es geht vorerst nur um diesen Faktor, der theoretisch - praktisch nicht möglich - den Weg verkürzt. Überlegungen zu v = s : t sind erst bei der Berechnung der Zeit nötig.

Angenommen, jemand radelt sehr viel und überlegt, ob er sich statt der gewohnten 28 Zoll nun 29 Zoll kaufen soll. Er vermutet, daß sich ein Zoll auf die Dauer durchaus bemerkbar machen könnte und rechnet verschiedene Distanzen unterschiedlichen Tempos aus.

Darin enthalten sind lange Strecken zur Arbeit, kurze Strecken für Erledigungen und Unternehmungen in der Freizeit.

Achten Sie auf die Veränderung bei hohem oder niedrigem Tempo.

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