Die Grenze zwischen Geometrie und Algebra ist dünn. Vielmehr liegt auch der Geometrie die Algebra zugrunde. Wie sollte man auch sonst axiomatisch rechnen, ohne Strecken beliebiger Länge nicht mit Variablen zu versehen?

Binomische Formeln sind eigentlich nur Multiplikationen auf Basis des Distributivgesetzes. Wichtig ist nur, daß man alles miteinander multipliziert. Achten Sie einfach auf die Anzahl der Terme: ( a - b )( a + b ) ergibt 2 mal 2 also 4 Terme bevor 2. und 3. Term summiert werden. So ist etwa -ab +ab gleich 0 und entfällt.

Länge (a)

Breite (b)

A = a · b

A = a ²

A = b ²

A = a · b + b²

A = a² + 2ab + b²

A = a² - 2ab + b²

A = a² - b²

Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion stellt immer das Extrem, also den maximalen Wert dar. Egal in welcher Richtung, denn er kann auch negativ sein. Die Form, wovon wir hier ausgehen ist immer:

y = ax² ± bx ± c

Es kann also damit z.B. die größtmögliche Fläche oder etwa das Verhältnis zwischen Be- und Entschleunigung eines Steinwurfs gemeint sein. Oder etwa Erhitzung und Abkühlung.

Man sollte beim Zeichnen einer Funktion - egal ob linear oder quadratisch - immer erst die markanten Stellen berechnen und dann die Werte dazwischen.

Schnittpunkte

Koeffizient ( a )

Koeffizient ( b )

Koeffizient ( c )

a / a

b / a

c / a

Scheitel: x

Scheitel: y

Geben Sie negative Werte mit Minus ein. Positive Werte brauchen kein Plus als Eingabe.

Es wird zunächst der Koeffizient a ausgeklammert, was zwei Klammern nötig macht. Zum Schluß wird der Koeffizient a wieder mit c multipliziert. Zur Orientierung habe ich die ausgeklammerten Terme mit ausgegeben. Nochmal die Form:

a [ ( x ± ( b : 2 ) )² - ( b : 2 )² ± c ] → a ( x ± b )² ± c

Der Koeffizient b wird tatsächlich halbiert und dieses Halbe wird quadriert!

Die Funktionsgleichung lautet hier y = x² - 2x + 1 und ist eine quadratische Gleichung. Die Schnittpunkte mit der x-Achse zu berechnen, verleitet zur Lösungsformel. Muß aber nicht immer sein! Wir haben die Form: y = ax² ± bx ± c
Um den einzigen Schnittpunkt hier zu erfahren, beachtet man, daß b eine Summe und c ein Produkt ist. Die Summanden der Summe entsprechen den Produkten des Produkts:

-1 + (-1) = -2 = b und -1 · (-1) = 1 = c

Wandelt man die obere Form in ein Proudukt um, erhält man ( x - 1 ) · ( x - 1 ) und nun ist es gleichgültig welches der beiden Binome mit 1 belegt wird. So ergibt sich entweder

( 1 - 1 ) · ( m - 1 ) = 0 · ( m - 1 ) = 0 oder eben ( m - 1 ) · ( 1 - 1 ) = ( m - 1 ) · 0 = 0

Die Anzahl aller Beispiele wäre sehr groß. Nur soviel:
y = x² - 5x + 6 = ( x - 3 )( x - 2 ) oder y = x² - x - 6 = ( x + 3 )( x - 2 ) usw.

Lösungsformel  |  Quadratisches aus Linearem

Hat man sowohl Umfang als auch Fläche eines Rechtecks gegeben, von dem man noch nicht weiß, ob es Rechteck oder Quadrat ist und dessen Seitenlängen errechnet werden sollen, dann kann man recht zügig vorgehen mit:

U = 2 ( l + b ) belegt mit dem Umfang also z.B. 20 = 2 ( l + b ) und erhält 10 - l = b

Jetzt belegt man die Flächenformel mit b also z.B. 25 = l ( 10 - l ) und erhält für beide Seiten den hier ohnehin ersichtlichen Wert 5

Aber erst dann, wenn man die daraus entstandene quadratische Gleichung gelöst hat.
So entsteht nämlich immer die Form: y = ax² ± bx ± c

Umfang Fläche
Länge 0 Breite 0
Damit ist klar, daß es eine untergeordnete Rolle spielt, ob es sich bei Angaben zu Umfang und Fläche tatsächlich um ein Rechteck handelt oder ein Quadrat.

Löst man das kleine Gleichungssystem mittels Substitution oder Äquivalenz, stösst man bald auf eine quadratische Gleichung. Auch, wenn man die Extremwerte berechnet.

Quadratische Lösungsformel  |  Scheitelpunkt

Bekanntlich ist die Diagonale eines Quadrats immer √2 · a wobei a die Seitenlänge des Quadrats ist. Aber warum die √2 ?

Man beginnt auch hier beim Einheitsquadrat mit der Seitenlänge 1 - wie beim Einheitskreis mit dem Radius 1 ebenso. Dann ergibt sich eine Fläche von 1, denn 1 · 1 = a · a = 1² = a² Wenn man diese Fläche halbiert, dann ergibt sich ein Viertel der grünen Fläche, deren Flächeninhalt nicht 1 sondern 2 ist.

Legt man wieder a² zugrunde, dann heisst die Gleichung a² = 2 und isoliert man a, dann entsteht a = 1 · √2

Kleine Probe: a · a = √2 · √2 = 2 jedenfalls im kleinsten Fall als kleinstes Vielfaches. Die Diagonale des grünen Quadrats hat dann die Länge √2 · √2 da ja die Seitenlänge a jetzt nicht mehr 1 sondern √2 ist.

Fläche ( A )
Seite ( a )
Diagoale ( d )
Umfang ( U )
Alle Werte...
Im Skript sind natürlich keine negativen Eingaben möglich. Ein paar Anmerkungen zu JavaScript: Jedes der Eingabefelder ruft eine eigene Funktion auf und das - Sie ahnen es - oninput. Es ist wichtig, welche Rechnung in welche Felder geschrieben wird.

Das Skript lehnt sich nun nicht mehr eng an obige Ausführungen an und lässt dem Anwender mehr Freiheit, die Werte beliebig zu berechnen. Dezimaleingaben müssen möglich sein, um z.B. √2 einzugeben.

Die Ausgabe ist auf 4 Stellen nach dem Komma gerundet und beachten Sie auch bei der Übernahme der Werte, daß durch die Rundung Abweichungen entstehen.

Maximales Quadrat im Kreis

Die Normalparabel wird in Richtung der y-Achse verschoben. Dabei verändert sich die Gleichung der Normalparabel x² in x² ± e und der Scheitel ergibt sich aus:

( x ± 0 )² ± 0 sowie ( x ± 0 )² ± e mit entsprechender Belegung von e also allgemein S ( 0 | 0 ) und S ( 0 | e )

Es fällt auf, daß der Schnittpunkt mit der x-Achse im Falle 0 < e entfällt und dafür der x-Wert des Scheitels gleichzeitig der Schnittpunkt mit der y-Achse ist. Letzteres behält seine Gültigkeit, wenn e < 0 obwohl nun zwei Schnittpunkte mit der x-Achse existieren.
Der Fall e = 0 dürfte klar sein.

Diese Verschiebung hat natürlich numerisches Verhalten und das soll aufgezeigt werden...

Start ( x ) Ende ( x ) Versatz ( e )
S (x | y)

Im Skript sind nur Werte zwischen -10 und +10 zulässig und sinnvoll. Es werden im linken Textfeld die Werte der Normalparabel und im rechten Textfeld die Werte der Normalparabel mit Versatz ausgegeben und das auf eine Stelle gerundet.

Die x-Werte ändern sich durch den Versatz freilich nicht, da beide Graphen übereinander liegen; sehr wohl aber der y-Wert.

Beachten Sie, daß, der optischen Täuschung zum Trotz, Normalparabel und versetzte Normalparabel keinen Schnittpunkt haben!

Quadratische Lösungsformel  |  Scheitelpunkt

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