Der Cosinussatz ist nur dann anwendbar, wenn zwei bekannte Seiten einen bekannten Winkel einschliessen.

Als kleine Merkhilfe sei die alternative Schreibweise für Winkel ∠ ABC genannt, die drei Punkte angibt, deren mittlerer Punkt, also B, direkt am Winkel β liegt.

Da der Cosinus einer zyklischen Vertauschung unterliegt ergeben sich streng genommen drei Cosinussätze. Das Zeichen ∨ steht für logisch ODER

a² = b² + c² - 2ab ⋅ cos α ∨ b² = a² + c² - 2ac ⋅ cos β ∨ c² = b² + c² - 2bc ⋅ cos γ

Gesucht ist also immer die gegenüberliegende Seite, weil im Dreieck den Punkten und Winkeln die Seiten nun mal gegenüber liegen. Welche Seiten Sie suchen, ist für das Programm egal, denn eigentlich sucht man immer nur die 3. Seite eines Dreiecks.

1. Seite 2. Seite Winkel 3. Seite Alle Werte...
0
Achten Sie in JavaScript darauf, daß Grad aufgenommen und Dezimal ausgegeben wird. Da gibt es in der Codierung nämlich Unterschiede!

Ansonsten habe ich die Ausgabe auf 2 Stellen nach dem Komma gekürzt, weil wohl niemand manuell noch genauer zeichnen kann?

... ist tatsächlich das Universalwerkzeug der Trigonometrie. Ohne ihn geht fast nichts!

Daher noch einmal die kleine Merkhilfe: Die Hypothenuse ist die längste Seite eines Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. So gilt der Pythagoras auch nur für rechtwinklige Dreiecke.

Und so ergibt sich, was den meisten noch im Ohr klingt: a² + b² = c²

Natürlich ist nicht immer die Hypothenuse gesucht; manchmal eben auch die An- oder Gegenkathete. Und so wird die Formel per Summe umgestellt. Achten Sie darauf, zuletzt die Wurzel zu ziehen! Es ist nicht c² sondern c gesucht.

Hypothenuse Ankathete Gegenkathete

Report
Geben Sie Ihre Werte ein und wählen Sie die jeweilige Rechnung im Menü. Man kann bestehende Werte verändern und eine neue Rechnung wählen. Dann wird das vorige Ergebnis überschrieben. Hierzu müssen Sie betreffenden Wert nicht manuell auf Null setzen.

Es sollte die Hypothenuse natürlich die längste Seite des Dreiecks bleiben und nicht unter den Werten der anderen Seiten liegen.

Generell: da im gleichseitigen Dreieck alle drei Seiten gleich lang sind, ergeben sich auch drei gleiche Winkel weil 180° / 3 = 60° und das immer! Natürlich sind dann auch die Höhen gleich lang, denn diese stehen eigentlich alle auf der gleichen Seite.

Zur Berechnung der Seitenlänge und der Fläche taucht quasi unterwegs die Höhe auf, die aber als Variable temporär ist. Dennoch ist die Höhe immer hilfreich, was einen output Wert ist.

Länge (a) Fläche (A) Höhe (h) Alle Werte...
0
Geben Sie im Skript, das durch zwei Funktionen per oninput sehr beweglich ist, wahlweise die Länge oder die Fläche ein. Ergebnis ist das jeweils andere Feld und eben als Anhalt und Kontrolle die Höhe.
Der Wert 1 als Voreinstellung der Fläche soll eine Division durch 0 vermeiden; erst die manuelle Eingabe 1 liefert zugehörige Werte.

Man kann sich schnell und fast mühelos merken: d² = a² + b² + c² → d = √ a² + b² + c²
Darin enthalten sind zwei Pythagoräer : d1² = a² + b² → d2² = d1² + c² → d2 = √ a² + b² + c²
per Substitution. Die Variable d steht freilich für Diagonale.

Länge (a) Breite (b) Höhe (c)
Volumen Oberfläche Diagonale Alle Werte...
0 0 0
Wenn die drei Seiten gleich lang sind, wird aus dem Quader natürlich ein Würfel.

So wird um eine Dimension erweitert und statt zwei Termen für die Fläche ergeben sich drei Terme für den Raum. Der Wurzelexponent bleibt aber 2; die Frage nach dem Exponenten 3 ginge in Richtung Satz von Fermat.

Hier ist die Eingabe 0 kein Problem, da in den Rechnungen kein einziger Divisor auftaucht.

Dem Thema verwandt ist natürlich π und man kann sagen, daß keine Betrachtung der Kreise oder ihrer teilweisen Elemente lange ohne π auskommt. Will heissen: je mehr n-Ecke und noch genauer je mehr Teildreiecke Sie haben, umso näher kommen Sie der Kreiszahl Pi.

Trotzdem soll es hier um das n-Eck isoliert gehen und mittels Pythagoras und Höhensatz die Höhe des Dreiecks sowie die Grundseite. Häufig ist nämlich nach Umfang und Fläche des Polygons gefragt und dazu brauchen Sie beide Größen.

Über alledem steht aber immer der Umfang und die Fläche des Kreises. Das n-Eck kann noch so viele Ecken haben, Umfang und Fläche können nicht größer sein als die Ergebnisse bekannter Formeln 2r · π und r² · π

Ecken (n) Radius (r) Alle Werte... Alle Werte...
Höhe (h) Grund (g) Umfang (U) Fläche (A)
0 0 0 0
Letzteres macht sich allerdings erst nach vielen Nachkommastellen bemerkbar und so kommen die Werte der n-Ecke niemals an Pi heran. Niemals!

Die Bedingung bis 20 und die knappe Rundung lassen es nicht zu, nachzuprüfen, wie weit man mit aktuellem n-Eck von der Kreiszahl entfernt ist. Hierzu allerdings der Link:

In itinere ad П

Wenn Sie sich von einem Gegenstand entfernen, dann verschwindet er irgendwann optisch. Das liegt nicht nur am Sehvermögen des Betrachters, sondern auch an der Erdkrümmung.

Diese schiebt sich dem Betrachter in den Weg und die gerade Sichtlinie wird unterbrochen. Bis es soweit ist, kann man aber mit zwei Pythagoräern schon berechnen, wie weit der Gegenstand sichtbar ist. Abhängig von der Höhe des Objekts und der Höhe des Betrachters, der vielleicht Ballon fährt.

Der Radius der Erde ist konstanter Teil der Hypothenuse und grob definiert mit 6370 Kilometern. Somit ergibt sich für die Hypothenuse r + h während die Kathete lediglich r ist. Beachten Sie aber, daß beide Dreiecke zusammen nicht rechtwinklig sind. Der Pythagoras gilt also immer nur für die Teildreiecke.

Höhe 1 ( km ) Höhe 2 ( km ) Sichtweite ( km ) Alle Werte...
0
s1 + s2 = √ 2 ⋅ 6370 ⋅ h1 + h1² + √ 2 ⋅ 6370 ⋅ h2 + h2²

Die Eingaben müssen in Kilometern gemacht werden und sind auf 100 km limitiert. So sollten 100 km ausreichend sein, selbst dann, wenn es sich um Betrachter aus einem Flugzeug heraus handelt.

Jedes Quadrat kann in ein Rechteck verwandelt werden. Hierfür gibt es unendlich viele Möglichkeiten der Division.

Aber jedes Rechteck hat nur eine quadratische Entsprechung: Seite ( Quadrat ) = √ a ⋅ b und wenn man ( √ a ⋅ b ) ² rechnet, bleibt nichts als a ⋅ b was der Fläche genannten Rechtecks entspricht.

Konstruiert man aus dem Rechteck ein flächengleiches Quadrat, so entsteht über c = a + b ferner c = q + p und beide haben den Thaleskreis mit M gemeinsam. Nun interessieren wir uns aber für q bzw. p und bald h als Höhe des Dreiecks.

Rechteck a Rechteck b Quadrat b
0
Abschnitt q Abschnitt p Dreieck Höhe
0 0 0
Durch ein paar Substitutionen ergibt sich bald q = ( a ⋅ b ) / ( a + b ) und
p = ( a + b ) - (( a ⋅ b ) / ( a + b )) was auch p = c - q ohne Abhängigkeit vom Rechteck heißt.
Die Höhe ist nur noch Formsache mit h² = q ⋅ p bzw. h = √ q ⋅ p

Beachten Sie, daß die Quadrate über den Katheten graphisch sehr groß werden! So sollten Werte bis 15 reichen.

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