Mathematik verstehen und
nicht auswendig lernen.


Ein Ingenieur, ein Physiker, ein Mathematiker und ein Philosoph machen eine Wanderung durch die schottischen Berge. Der Ingenieur ruft: "Seht, in Schottland sind die Kühe schwarz!" Der Physiker verbessert ihn: "Zumindest einige Kühe." Dazu der Mathematiker: "Zumindest eine Kuh." Und der Philosoph sagt: "Zumindest sehen wir, daß eine Kuh auf einer Seite das ist, was wir schwarz nennen."

Unter der Oberfläche

Ein Pfahl steht senkrecht im Boden eines Teichs und ragt aus dem Wasser. Im Boden steckt 1/4 des Pfahls, 1/3 wird vom Wasser bedeckt und 2,5 Meter sind oberhalb der Wasseroberfläche.

Welche Länge hat der gesamte Pfahl?

Lösung: 6 Meter

Heimwerker

Ein Mann verlegt die Panelen für einen Parkettboden. Am 1. Tag verbraucht er 1/4 der Gesamtmenge, am 2. Tag 1/3 der Restmenge und am 3. Tag die Hälfte der neuen Restmenge. Es bleiben ihm 45 Panelen übrig.

Wieviele Panelen hatte der Heimwerker anfangs?

Lösung: 360 Panelen

Gegen den Strom

Ein Motorboot fährt mit der Strömung in 24 Sekunden 120 Meter. Fährt es entgegen der Strömung, so braucht es für die gleiche Strecke 40 Sekunden. Wie schnell sind jeweils das Boot und die Strömung?

Lösung: Das Motorboot fährt 14,4 km/h und die Strömung fliesst mit 3,6 km/h

Gleichseitiges Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck hat 3 gleich lange Seiten, die mit a benannt sind. Da die Seiten gleich lang sind, ergeben sich auch 3 gleich grosse Winkel, denn 360° : 3 = 60°

Ziehen Sie dann ein Lot auf einer beliebigen Seite zum gegenüberliegenden Punkt, halbiert sich nicht nur die Seite, sondern auch der Winkel und es entsteht die Höhe des Dreiecks.

Mathias Bleher
Olmützer Weg 1
85737 Ismaning
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+49 151 281 207 99

Nachhilfe in Mathematik

Mathematik ist überall! Sie wird nicht auf dem Papier geboren, sondern in den Dingen der Welt. Mathe ist also keine Ausgeburt eines Vakuums sondern findet lediglich auf dem Papier ihre Niederschrift. Eine Übersetzung, wenn man so will. Oder eine Abschrift der Dinge, die uns umgeben. Verfasst in einer sehr knappen Sprache, die bestimmt nicht sehr klangvoll ist aber dafür umso effektiver.

Das ist es, was manche Leute irritiert, wenn sie eine Tafel oder ein Papier voller Formeln sehen und sich sofort abwenden. Hinzu kommen manche Lehrer, die mechanisch und überaus geübt diese Übersetzung von links nach rechts und von oben nach unten quasi vorlesen und dann mit dem Satz schliessen: "Das ist doch alles ganz logisch!"

Und genau hier möchte ich ansetzen: Da Menschen unterschiedlich lernen - der eine schneller, der andere dafür gründlicher - gehe ich auf jeden einzeln ein. Im Einzelunterricht, ganzheitlich oder etwas pointierter, wenn eine Prüfung ansteht. Rufen Sie mich einfach an!

0151 28 120 799

Brüche kürzen

Vergleicht man Brüche, verwendet man möglichst kleine Zahlen. Dazu müssen manche Brüche gekürzt werden. Man dividiert also den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl und erhält einen Bruch, der zwar kleiner ist aber immer noch dasselbe Verhältnis aufweist wie der grosse Bruch. Dies geschieht so häufig wie möglich, um den neuen Bruch so klein wie möglich zu machen. So hat der Bruch 560 / 1120 das Verhältnis 1 zu 2 und stellt auch nichts anderes dar als 1 / 2 im gekürzten Bruch.

Zähler

Nenner

Dezimal

Geben Sie im Skript Zahlen mit maximal 5 Stellen ein. Sofern Sie versehentlich andere Zeichen - Buchstaben oder Sonderzeichen - eingeben, werden diese zwar gezählt, von der Funktion zur Division aber ignoriert. Beachten Sie auch, dass man durch 0 nicht dividieren kann!

Primzahlen

Eine Primzahl ist nur durch 1 und durch sich selber ganzzahlig teilbar. So kann man die 2 eben nur durch 1 oder durch 2 ganzzahlig teilen. Teilt man eine beliebige mehrstellige Zahl, dann hat diese mehrere Primzahlfaktoren. Zum Beispiel besteht die Zahl 2310 aus den Primzahlfaktoren 2, 3, 5, 7 und 11. Die Zahl 2600 hat lediglich die Primzahlfaktoren 2, 5 und 13. Die Grösse der Zahl entscheidet also nicht über die Anzahl der Primfaktoren.

Prim?

Die Anzahl der Primzahlen ist unendlich. Man kann auch immer genau sagen, welche Zahl prim ist und welche nicht. Jedoch weiss man heute noch nicht so genau, welchem Prinzip die Verteilung folgt. Eine genaue Formel ist also noch nicht bekannt.

Teilbarkeit

Durch die Primzahlen stellt sich bald die Frage nach den Teilbarkeiten. Hat man zwei Zahlen, so sind diese natürlich beide durch 1 ganzzahlig teilbar. Sind beide Zahlen gerade Zahlen, dann ist der gemeinsame Teiler sowieso 2. Aber was ist mit 33 und 27? Beide Zahlen haben als grössten gemeinsamen Teiler die Zahl 3, da zwar 33 durch 11 aber eben 27 nicht durch 11 sondern durch 9 teilbar ist. Somit ist 11 und 9 beiden Zahlen nicht gemeinsam. Die 3 dagegen schon.


1. Zahl

2. Zahl

Der ggT

Das kgV

Im kleinsten gemeinsamen Vielfachen - also im kleinsten Produkt beider Zahlen - sind nun wieder beide Ausgangszahlen als Teiler enthalten. Es berechnet sich, indem man eine Zahl durch den ggT dividiert und dieses Ergebnis mit der anderen Zahl multipliziert.

Zufallszahlen

Ein Zufallsgenerator ist immer recht nützlich, um beliebige Werte zu erzeugen. Sucht man sich selber Werte aus, spielt das Unterbewusstsein manchmal Streiche und es entstehen Werte, die entweder besonders einfach zu dividieren sind oder auf andere Weise bequem sein könnten. Dieser Generator lässt 10 Ereignisse - sprich 10 Ziffern - zu, die bis zu 5 Positionen belegen können. Sie wählen also 7 Ereignisse auf 3 Positionen und erhalten z.B. 007, 000, 467 oder 777 als Ziffernfolgen.

0

Wenn Sie sich für die Anzahl der Ereignisse und der Positionen entschieden haben, ist es ratsam mehrmals auf "Berechnen" zu klicken, um sich vom Ablauf der Auswahl zu überzeugen. Beachten Sie auch, dass die erste Ziffer die 0 ist!

Modulo oder der ganzzahlige Rest

Es geht um die ganzzahlige Division bzw. den Rest, der eben nicht mehr ganzzahlig Teil des Dividenden ist. Die knappe Form y = a · x + b beschreibt, dass zum ganzzahligen Produkt a · x nun b addiert wird, um y komplett zu machen. Und dieser Teil b ist eben Modulo. Die Schreibweise - es gibt mehrere - könnte also
10 mod 8 = 2 als Gleichung sein.

Modulo

Beachten Sie, dass im Skript die Reihenfolge umgekehrt wird, sobald die zweite Zahl grösser als die erste Zahl ist.

Zeiten nehmen

Natürlich spielt die Zeit eine tragende Rolle. Jede Art des Ablaufs wird zeitlich gemessen und bedingt das Verhältnis, das aus Weg und Zeit besteht. In Koordinatensystemen verläuft die Zeit üblicherweise auf der x-Achse, während man den zurückgelegten Weg entlang der y-Achse abträgt und misst.

0

0

Im Skript können Sie maximal 5 Zeiten nehmen. Sobald die 5. Zeit überschritten ist, wird im oberen Output die 0 eingesetzt. Das Löschen der Zeiten ist jederzeit möglich.

Die Quersumme

Addiert man die Ziffern einer Zahl - ganz gleich wie gross diese sein mag - ergibt sich die Quersumme. Nicht mit der Summation verwechseln, die eine Ziffern- und Zahlenfolge vorsieht. Also die Zahlen der Reihe nach. Bei der Quersumme ist keine Zahlenfolge vorgesehen. Übrigens eine nette Beschäftigung auf der Autobahn.

0

Im Skript können Sie maximal 10 Ziffern addieren. Eine Ziffernfolge, die einen Buchstaben oder ein Sonderzeichen enthält, gilt nicht als Zahl.

Das Stadtticket

Eine Stadtverwaltung beklagt, dass nur 4% der Bürger das Stadtticket nutzen. Davon sind 98% Besserverdiener, denn 0,5% besitzen kein Stadtticket obwohl sie das Geld dazu hätten.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besitzt ein Bürger das Stadtticket, obwohl ihm das Geld dazu eigentlich fehlt?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Bürger kein Stadtticket, wenn man schon weiß, dass es ein Besserverdiener ist?

Derzeit kostet das Stadtticket 120 Euro und bei der jetzigen Menge an Abonnenten bräuchte die Verwaltung 3mal diese Einnahme. Jedoch haben 2000 Personen Interesse angemeldet.

a) Um wieviel Euro könnte das Ticket vergünstigt werden, wenn sich diese Interessenten tatsächlich für ein Abo entscheiden würden?

Lösungen: a) 0,08% b) ca. 11,3% a) 60 €

Prim oder nicht prim

Per Zufallsgenerator wird folgende Ziffernfolge definiert: 5; 3; 7; 2; 8; 5; 8; 3; 1; 1; 4; 7

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Ziffer eine Primzahl sein wird?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gezogene Ziffer eine Primzahl und zugleich die Ziffer drei sein wird?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gezogene Ziffer die Drei sein wird, nachdem man schon weiß, dass die Ziehung eine Primzahl ergab?

Lösungen: a) 50% b) 16,67% c) 33,33%

Zug um Zug

Ein Zug hat eine Länge von 108 Metern und fährt mit 36 km/h. Ein anderer Zug ist 92 Meter lang und fährt 54 km/h. Sie fahren einander auf verschiedenen Gleisen einander entgegen.

Wie lange wird es dauern, bis sie aneinander vorbei gefahren sind?

Lösung: 8 Sekunden

Faustformel

Eine Faustformel zum Verhalten zweier Geschwindigkeiten bietet sich fast an. Fällt etwas schwer - also Überholen oder gegen den Strom zu rudern - dann werden die Geschwindigkeiten voneinander abgezogen; Minus, negativ... Wird etwas erleichtert oder beschleunigt, dann addiert man die Geschwindigkeiten. Erleichterung verschafft z.B. der Rückenwind auf dem Fahrrad oder helfende Strömung. Begegnen sich zwei Züge, dann addiert man die Geschwindigkeiten wie etwa beim Aufprall. Natürlich auch dann, wenn sich zwei Autos auf der Hälfte zwischen A und B treffen sollten.

Vorzeichen

Eine negative Basis wird zur positiven Potenz, wenn der Exponent eine gerade ganze Zahl ist. Ist der Exponent jedoch eine ungerade Zahl, dann bleibt das Ergebnis negativ. (-2) · (-2) · (-2) = - 8 oder (-2) · (-2) = 4

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